1、摘 要：介紹了電磁學(xué)計(jì)算方法的研究進(jìn)展和狀態(tài)，對(duì)幾種富有代表性的算法做了介紹，并比較了各自的優(yōu)勢(shì)和不足，包括矩量法、有限元法、時(shí)域有限差分方法以及復(fù)射線方法等。
2、 關(guān)鍵詞：矩量法；有限元法；時(shí)域有限差分方法；復(fù)射線方法 1 引 言 1864 年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁極不存在）和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論，并用數(shù)學(xué)模型揭示了自然界一切宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的普遍規(guī)律，這就是著名的Maxwell方程。
(資料圖)
3、在11種可分離變量坐標(biāo)系求解Maxwell方程組或者其退化形式，最后得到解析解。
4、這種方法可以得到問(wèn)題的準(zhǔn)確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規(guī)則邊界的簡(jiǎn)單問(wèn)題。
5、對(duì)于不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界則需要比較高的數(shù)學(xué)技巧，甚至無(wú)法求得解析解。
6、20世紀(jì)60年代以來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展起來(lái)，并得到廣泛地應(yīng)用，相對(duì)于經(jīng)典電磁理論而言，數(shù)值方法受邊界形狀的約束大為減少，可以解決各種類(lèi)型的復(fù)雜問(wèn)題。
7、但各種數(shù)值計(jì)算方法都有優(yōu)缺點(diǎn)，一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題往往難以依靠一種單一方法解決，常需要將多種方法結(jié)合起來(lái)，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，因此混和方法日益受到人們的重視。
8、 本文綜述了國(guó)內(nèi)外計(jì)算電磁學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r，對(duì)常用的電磁計(jì)算方法做了分類(lèi)。
9、 2 電磁場(chǎng)數(shù)值方法的分類(lèi) 電磁學(xué)問(wèn)題的數(shù)值求解方法可分為時(shí)域和頻域2大類(lèi)。
10、頻域技術(shù)主要有矩量法、有限差分方法等，頻域技術(shù)發(fā)展得比較早，也比較成熟。
11、時(shí)域法主要有時(shí)域差分技術(shù)。
12、時(shí)域法的引入是基于計(jì)算效率的考慮，某些問(wèn)題在時(shí)域中討論起來(lái)計(jì)算量要小。
13、例如求解目標(biāo)對(duì)沖激脈沖的早期響應(yīng)時(shí)，頻域法必須在很大的帶寬內(nèi)進(jìn)行多次采樣計(jì)算，然后做傅里葉反變換才能求得解答，計(jì)算精度受到采樣點(diǎn)的影響。
14、若有非線性部分隨時(shí)間變化，采用時(shí)域法更加直接。
15、另外還有一些高頻方法，如GTD， UTD和射線理論。
16、 從求解方程的形式看，可以分為積分方程法（IE）和微分方程法（DE）。
17、IE和DE相比，有如下特點(diǎn)：IE法的求解區(qū)域維數(shù)比DE法少一維，誤差限于求解區(qū)域的邊界，故精度高；IE法適合求無(wú)限域問(wèn)題，DE法此時(shí)會(huì)遇到網(wǎng)格截?cái)鄦?wèn)題；IE法產(chǎn)生的矩陣是滿(mǎn)的，階數(shù)小，DE法所產(chǎn)生的是稀疏矩陣，但階數(shù)大；IE法難以處理非均勻、非線性和時(shí)變媒質(zhì)問(wèn)題，DE法可直接用于這類(lèi)問(wèn)題〔1〕。
18、 3 幾種典型方法的介紹 有限元方法是在20世紀(jì)40年代被提出，在50年代用于飛機(jī)設(shè)計(jì)。
19、后來(lái)這種方法得到發(fā)展并被非常廣泛地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題中。
20、目前，作為廣泛應(yīng)用于工程和數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種通用方法，有限元法已非常著名。
21、 有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計(jì)算方法。
22、其定解問(wèn)題為： 應(yīng)用變分原理，把所要求解的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題，利用對(duì)區(qū)域D的剖分、插值，離散化變分問(wèn)題為普通多元函數(shù)的極值問(wèn)題，進(jìn)而得到一組多元的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組就可以得到所求邊值問(wèn)題的數(shù)值解。
23、一般要經(jīng)過(guò)如下步驟： ①給出與待求邊值問(wèn)題相應(yīng)的泛函及其變分問(wèn)題。
24、 ②剖分場(chǎng)域D，并選出相應(yīng)的插值函數(shù)。
25、 ③將變分問(wèn)題離散化為一種多元函數(shù)的極值問(wèn)題，得到如下一組代數(shù)方程組： 其中：Kij為系數(shù)（剛度）矩陣；Xi為離散點(diǎn)的插值。
26、 ④選擇合適的代數(shù)解法解式（2），即可得到待求邊值問(wèn)題的數(shù)值解Xi（i＝1，2，…，N） （2）矩量法 很多電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析都?xì)w結(jié)為這樣一個(gè)算子方程〔2〕： L（f）＝g（3）其中：L是線性算子，f是未知的場(chǎng)或其他響應(yīng)，g是已知的源或激勵(lì)。
27、 在通常的情況下，這個(gè)方程是矢量方程（二維或三維的）。
28、如果f能有方程解出，則是一個(gè)精確的解析解，大多數(shù)情況下，不能得到f的解析形式，只能通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行預(yù)估。
29、令f在L的定義域內(nèi)被展開(kāi)為某基函數(shù)系f1，f2，f3，…，fn的線性組合： 其中：an是展開(kāi)系數(shù)，fn為展開(kāi)函數(shù)或基函數(shù)。
30、 對(duì)于精確解式（2）通暢是無(wú)限項(xiàng)之和，且形成一個(gè)基函數(shù)的完備集，對(duì)近似解，將式 （2）帶入式（1），再應(yīng)用算子L的線性，便可以得到： m＝1，2，3，… 此方程組可寫(xiě)成矩陣形式f，以解出f。
31、矩量法就是這樣一種將算子方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程的一種離散方法。
32、 在電磁散射問(wèn)題中，散射體的特征尺度與波長(zhǎng)之比是一個(gè)很重要的參數(shù)。
33、他決定了具體應(yīng)用矩量法的途徑。
34、如果目標(biāo)特征尺度可以與波長(zhǎng)比較，則可以采用一般的矩量法；如果目標(biāo)很大而特征尺度又包括了一個(gè)很大的范圍，那么就需要選擇一個(gè)合適的離散方式和離散基函數(shù)。
35、受計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算速度影響，有些二維和三維問(wèn)題用矩量法求解是非常困難的，因?yàn)橛?jì)算的存儲(chǔ)量通常與N2或者N3成正比（N為離散點(diǎn)數(shù)），而且離散后出現(xiàn)病態(tài)矩陣也是一個(gè)難以解決的問(wèn)題。
36、這時(shí)需要較高的數(shù)學(xué)技巧，如采用小波展開(kāi)，選取合適的小波基函數(shù)來(lái)降維等〔3〕。
37、 （3）時(shí)域有限差分方法 時(shí)域有限差分（FDTD）是電磁場(chǎng)的一種時(shí)域計(jì)算方法。
38、傳統(tǒng)上電磁場(chǎng)的計(jì)算主要是在頻域上進(jìn)行的，這些年以來(lái)，時(shí)域計(jì)算方法也越來(lái)越受到重視。
39、他已在很多方面顯示出獨(dú)特的優(yōu)越性，尤其是在解決有關(guān)非均勻介質(zhì)、任意形狀和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的散射體以及輻射系統(tǒng)的電磁問(wèn)題中更加突出。
40、FDTD法直接求解依賴(lài)時(shí)間變量的麥克斯韋旋度方程，利用二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉(zhuǎn)換為差分形式，這樣達(dá)到在一定體積內(nèi)和一段時(shí)間上對(duì)連續(xù)電磁場(chǎng)的數(shù)據(jù)取樣壓縮。
41、電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在空間被交叉放置，這樣保證在介質(zhì)邊界處切向場(chǎng)分量的連續(xù)條件自然得到滿(mǎn)足。
42、在笛卡兒坐標(biāo)系電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在網(wǎng)格單元中的位置是每一磁場(chǎng)分量由4個(gè)電場(chǎng)分量包圍著，反之亦然。
43、 這種電磁場(chǎng)的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然幾何結(jié)構(gòu)。
44、因此FDTD算法是計(jì)算機(jī)在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間中對(duì)連續(xù)的實(shí)際電磁波的傳播過(guò)程在時(shí)間進(jìn)程上進(jìn)行數(shù)字模擬。
45、而在每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上各場(chǎng)分量的新值均僅依賴(lài)于該點(diǎn)在同一時(shí)間步的值及在該點(diǎn)周?chē)徑c(diǎn)其他場(chǎng)前半個(gè)時(shí)間步的值。
46、這正是電磁場(chǎng)的感應(yīng)原理。
47、這些關(guān)系構(gòu)成FDTD法的基本算式，通過(guò)逐個(gè)時(shí)間步對(duì)模擬區(qū)域各網(wǎng)格點(diǎn)的計(jì)算，在執(zhí)行到適當(dāng)?shù)臅r(shí)間步數(shù)后，即可獲得所需要的結(jié)果。
48、 在上述算法中，時(shí)間增量Δt和空間增量Δx，Δy和Δz不是相互獨(dú)立的，他們的取值必須滿(mǎn)足一定的關(guān)系，以避免數(shù)值不穩(wěn)定。
49、這種不穩(wěn)定表現(xiàn)為在解顯式 差分方程時(shí)隨著時(shí)間步的繼續(xù)計(jì)算結(jié)果也將無(wú)限制的67增加。
50、為了保證數(shù)值穩(wěn)定性必須滿(mǎn)足數(shù)值穩(wěn)定條件： 其中：（對(duì)非均勻區(qū)域，應(yīng)選c的最大值）〔4〕。
51、 用差分方法對(duì)麥克斯韋方程的數(shù)值計(jì)算還會(huì)在網(wǎng)格中引起所模擬波模的色散，即在FDTD網(wǎng)格中數(shù)字波模的傳播速度將隨波長(zhǎng)、在網(wǎng)格中的傳播方向以及離散化的情況而改變。
52、這種色散將導(dǎo)致非物理原因引起的脈沖波形的畸變、人為的各向異性及虛擬的繞射等，因此必須考慮數(shù)值色散問(wèn)題。
53、如果在模擬空間中采用大小不同的網(wǎng)格或包含不同的介質(zhì)區(qū)域，這時(shí)網(wǎng)格尺寸與波長(zhǎng)之比將是位置的函數(shù)，在不同網(wǎng)格或介質(zhì)的交界面處將出現(xiàn)非物理的繞射和反射現(xiàn)象，對(duì)此也應(yīng)該進(jìn)行定量的研究，以保證正確估計(jì)FDTD算法的精度。
54、在開(kāi)放問(wèn)題中電磁場(chǎng)將占據(jù)無(wú)限大空間，而由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存總是有限的，只能模擬有限空間，因此差分網(wǎng)格在某處必將截?cái)?，這就要求在網(wǎng)格截?cái)嗵幉灰鸩ǖ拿黠@反射，使對(duì)外傳播的波就像在無(wú)限大空間中傳播一樣。
55、這就是在截?cái)嗵幵O(shè)置吸收邊界條件，使傳播到截?cái)嗵幍牟ū贿吔缥斩划a(chǎn)生反射，當(dāng)然不可能達(dá)到完全沒(méi)有反射，目前已創(chuàng)立的一些吸收邊界條件可達(dá)到精度上的要求，如Mur所導(dǎo)出的吸收邊界條件。
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